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456228香港马会资料欧拉定理是什么东西?
发布日期:2019-10-07 07:06   来源:未知   阅读:

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  在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中,欧拉定理(Euler Theorem,也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中,顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理,指在完全竞争的条件下,假设长期中规模收益不变,则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

  在数论中,欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明,若n,a为正整数,且n,a互质,则:

  将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数)

  1)这些数中的任意两个都不模n同余,456228香港马会资料,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些),就有:

  mS-mR=a(xS-xR)=qn,即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质,a与n的最大公因子是1,而xS-xRn,因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余,φ(n)个数有φ(n)种余数。

  2)这些数除n的余数都与n互质,因为如果余数与n有公因子r,那么a*xi=pn+qr=r(……),a*xi与n不互质,而这是不可能的。那么这些数除n的余数,都在x1,x2,x3……xφ(n)中,因为这是1~n中与n互质的所有数,而余数又小于n.

  证明这个定理非常简单,由于p是质数,所以有φ(p) = p-1,代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a,有a^p ≡ a (mod p),因为a能被p整除时结论显然成立。

  5,这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4,所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。计算:a^{φ(n)} = 3^4

  这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数,实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]],且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod